Traducido por el equipo de SOTT.net
eeinstein tile tellessation no repeat pattern
© D. Smith, J.S. Myers, C.S. Kaplan and C. Goodman-StraussUna baldosa de 13 lados llamada "el sombrero" forma un patrón que cubre un plano infinito pero que no puede repetirse, lo que la convierte en una forma largamente buscada conocida como "einstein". Aquí se muestra una muestra de ese patrón.
Una forma de 13 lados llamada "el sombrero" forma un patrón que nunca se repite.

Una forma de 13 lados conocida como "el sombrero" tiene a los matemáticos de punta en blanco.

Es el primer ejemplo real de un "einstein", una forma única que forma un embaldosado especial de un plano: Como las baldosas de un cuarto de baño, puede cubrir toda una superficie sin huecos ni solapamientos, pero con un patrón que nunca se repite.

"Todo el mundo está asombrado y encantado a la vez", afirma la matemática Marjorie Senechal, del Smith College de Northampton (Massachusetts), que no participó en el descubrimiento. Los matemáticos llevaban medio siglo buscando una forma semejante. "Ni siquiera estaba claro que algo así pudiera existir", afirma Senechal.

Aunque el nombre "einstein" evoca al icónico físico, procede del alemán ein Stein, que significa "una piedra", en referencia a la baldosa única. El einstein se encuentra en un extraño purgatorio entre el orden y el desorden. Aunque las baldosas encajan perfectamente y pueden cubrir un plano infinito, son aperiódicas, es decir, no pueden formar un patrón que se repita.

Con un patrón periódico, es posible desplazar las fichas y hacer que coincidan perfectamente con su disposición anterior. Un tablero de ajedrez infinito, por ejemplo, tiene el mismo aspecto si se desplazan las filas de dos en dos. Aunque es posible disponer otras fichas individuales en patrones que no son periódicos, el sombrero es especial porque no hay forma de que pueda crear un patrón periódico.
einstein tile non repeating pattern
© D. Smith et al/arXiv.org 2023El "sombrero" (uno resaltado) es un polígono formado por ocho formas de cometa más pequeñas (líneas gris oscuro).
Identificado por David Smith, un matemático no profesional que se describe a sí mismo como un "imaginativo juguetón de las formas", y recogido en un artículo publicado en línea el 20 de marzo en arXiv.org, el sombrero es una polykite, un grupo de formas de cometas más pequeñas pegadas entre sí. Según Chaim Goodman-Strauss, del Museo Nacional de Matemáticas de Nueva York, uno de los matemáticos e informáticos con los que Smith se asoció para estudiar el sombrero, se trata de un tipo de forma que no se había estudiado a fondo en la búsqueda de einstein.

Taylor-Socolar tiles non repeating patterns
© Parcly Taxel/Wikimedia CommonsLas baldosas de Taylor-Socolar son lo más cerca que los matemáticos habían estado hasta ahora de un "einstein", una única baldosa que forma un patrón que nunca se repite. Pero las baldosas de Taylor-Socolar tienen piezas desconectadas (ilustradas), lo que amplía la definición de baldosa.
Es un polígono sorprendentemente sencillo. Antes de este trabajo, si me hubieran preguntado qué aspecto tendría un einstein, dice Goodman-Strauss, "habría dibujado alguna cosa loca, garabateada y desagradable".

Los matemáticos ya conocían mosaicos que no se repetían y que consistían en varias baldosas de formas diferentes. En la década de 1970, el matemático Roger Penrose descubrió que sólo dos formas diferentes formaban un mosaico que no era periódico (SN: 1/3/07). A partir de ahí, "era natural preguntarse si podría haber un único mosaico que hiciera esto", afirma el matemático Casey Mann, de la Universidad de Washington Bothell, que no participó en la investigación. Por fin se ha encontrado esa, "es de gran magnitud".

Otras formas se han acercado. Las baldosas de Taylor-Socolar son aperiódicas, pero son un revoltijo de múltiples piezas desconectadas, no lo que la mayoría de la gente considera una sola baldosa. "Es la primera solución sin asteriscos", afirma el matemático Michaël Rao, del CNRS y la École Normale Supérieure de Lyon (Francia).

Smith y sus colegas demostraron que el azulejo era un einstein de dos maneras. La primera consistió en observar que los sombreros se organizan en grupos más grandes, llamados metatiles. A continuación, esos metatiles se organizan en supertiles aún mayores, y así indefinidamente, en un tipo de estructura jerárquica habitual en los mosaicos que no son periódicos. Este enfoque reveló que el mosaico de sombreros podía llenar un plano infinito entero y que su patrón no se repetiría.

La segunda prueba se basaba en el hecho de que el sombrero forma parte de un continuo de formas: Al cambiar gradualmente las longitudes relativas de los lados del sombrero, los matemáticos pudieron formar una familia de baldosas que pueden adoptar el mismo patrón no repetitivo. Teniendo en cuenta los tamaños y formas relativos de las fichas en los extremos de esa familia -una con forma de cheurón y otra que recuerda a un cometa-, el equipo pudo demostrar que el sombrero no podía disponerse siguiendo un patrón periódico.


Los matemáticos han encontrado el primer "einstein" verdadero, una forma parecida a un sombrero que se puede embaldosar para cubrir un plano infinito, pero con un patrón que no se puede repetir. El sombrero forma parte de una familia de baldosas con muchas formas diferentes. En este vídeo, los sombreros se transforman en estas formas diferentes. Comparando las formas de los extremos de esta familia, una con forma de chevron y otra que recuerda a un cometa, los investigadores pudieron demostrar que el sombrero no puede formar un patrón que se repita.

Aunque el artículo aún no ha sido sometido a revisión por pares, los expertos entrevistados para este artículo coinciden en que parece probable que el resultado resista un examen detallado.

Los patrones no repetitivos pueden tener conexiones con el mundo real. El científico de materiales Dan Shechtman ganó el Premio Nobel de Química en 2011 por su descubrimiento de los cuasicristales, materiales con átomos dispuestos en una estructura ordenada que nunca se repite, a menudo descritos como análogos a los mosaicos de Penrose (SN: 10/5/11). Según Senechal, el nuevo azulejo aperiódico podría suscitar nuevas investigaciones en la ciencia de los materiales.

Otros mosaicos similares han inspirado a artistas, y el sombrero no parece ser una excepción. El mosaico ya se ha representado artísticamente como tortugas sonrientes y un revoltijo de camisas y sombreros. Es de suponer que sólo es cuestión de tiempo que alguien ponga azulejos de sombrero en un sombrero.


Y el sombrero no es el final. Los investigadores deben seguir a la caza de otros einsteins, afirma el informático Craig Kaplan, de la Universidad de Waterloo (Canadá), coautor del estudio. "Ahora que hemos desbloqueado la puerta, es de esperar que aparezcan otras formas nuevas".

Más información: D. Smith et al. An aperiodic monotile. arXiv:2303.10798. Presentado el 20 de marzo de 2023.
Emily Conover es doctora en Física por la Universidad de Chicago. Ha ganado dos veces el premio Newsbrief de la Asociación de Escritores Científicos de Washington, D.C.