Traducido por el equipo de SOTT.net

Un nuevo avance amplía los límites de la aleatoriedad, acercando a su resolución un misterio matemático que lleva décadas sin resolverse
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© Getty Imagesuna visualización de datos 3D dinámica y abstracta que representa cómo se procesa y organiza la información compleja. Ilustra las conexiones digitales, las redes y la transformación de la información bruta en conocimientos estructurados
Durante la mayor parte del siglo pasado, los matemáticos han estado explorando los límites de la teoría de Ramsey, el estudio del orden que se esconde en el caos — o, más exactamente, de cuánto desorden puede albergar un sistema antes que el orden surja inevitablemente — . El progreso ha sido frustrantemente lento, pero ahora un posible resultado revolucionario apunta hacia avances más rápidos — y una visión más clara de la transición, aún difusa, entre la aleatoriedad y la estructura.

Los sistemas en cuestión se denominan grafos: redes matemáticas formadas por puntos conectados por líneas. Estos grafos pueden representar cualquier cosa que esté interconectada — desde amistades hasta rutas aéreas o moléculas. Y a medida que cualquier grafo crece, tarde o temprano incluirá o bien un grupo muy unido en el que todo está conectado con todo lo demás — un «clique» — o bien abarcará una gran colección de puntos sin ninguna conexión entre ellos, lo que se conoce como un «conjunto independiente».

En una nueva demostración publicada el mes pasado en el servidor de preimpresiones arXiv.org, Domagoj Bradač, del Instituto Federal Suizo de Tecnología de Lausana, ha reducido drásticamente las restricciones clave sobre dónde puede tener lugar esta transición, derribando así una barrera que ha desconcertado a los investigadores durante décadas. Unas semanas más tarde, un modelo de razonamiento de OpenAI mejoró inesperadamente su resultado, eliminando prácticamente la poca incertidumbre que quedaba sobre las restricciones de Bradač para concluir de forma efectiva lo que había sido una búsqueda de 90 años.

El trabajo de Bradač se centró en los números de Ramsey, que indican a los matemáticos exactamente qué tamaño puede alcanzar un grafo antes que se garantice la presencia de un clique o un conjunto independiente. En una red social, por ejemplo, el número de Ramsey R(3,10) describe cuántas personas puede tener la red antes que sea seguro que contenga o bien tres amigos comunes, o bien diez personas que sean todas desconocidas entre sí.

Estos números son notoriamente difíciles de calcular. Los matemáticos han determinado con exactitud menos de 30 números de Ramsey, y hasta los casos aparentemente más sencillos siguen sin resolverse; por ejemplo, nadie conoce el valor de R(3,10). En su lugar, los investigadores suelen conformarse con delimitar los números de Ramsey demostrando que deben situarse en algún punto entre un límite superior y uno inferior.

La demostración de Bradač se refiere a los números de Ramsey fuera de la diagonal, que admiten grandes diferencias entre el tamaño de un clique y el de un conjunto independiente. Volviendo a nuestro ejemplo de la red social, R(3,10) podría considerarse fuera de la diagonal, dado que 3 y 10 están razonablemente lejos entre sí. Pero los matemáticos se plantean mantener fija la parte de los «tres amigos comunes» mientras analizan grupos cada vez más grandes de desconocidos. En lugar de R(3,10), se podría considerar R(3,100), luego R(3,1 000), y así sucesivamente. En lugar de perseguir un número esquivo cada vez, los matemáticos estudian cómo crecen estos números de Ramsey a medida que los grafos se hacen más grandes, y cómo acotarlos.

Se puede pensar en estos límites como una versión matemática del compactador de basura de *Star Wars*. Una pared es el límite inferior y la otra, el límite superior. Cada nuevo teorema acerca una de las paredes hacia dentro, reduciendo un poco más el espacio entre ellas. Si las paredes llegaran a encontrarse, encontraríamos el secreto del crecimiento de estos números aplastado entre ellas. La demostración de Bradač — y su posterior perfeccionamiento — acerca las paredes de forma apasionante hasta el punto de que casi se tocan. (Lo siento, Chewie.)

A la hora de buscar estos límites, la herramienta principal ha sido durante mucho tiempo el método probabilístico: la idea, en su día controvertida, de que se puede demostrar que algo existe sin llegar a encontrarlo nunca. Desarrollado originalmente en la década de 1940 por Paul Erdős, en parte para estudiar la teoría de Ramsey, el método demuestra que, si un grafo formado al azar tiene una probabilidad distinta de cero de poseer las propiedades deseadas, entonces debe existir al menos un grafo de ese tipo, aunque nadie pueda señalarlo concretamente.

«En un mundo ideal, simplemente te diría: "Mira, aquí tienes un grafo", y ya estaría todo resuelto», afirma Bradač. «Por desgracia, no sabemos cómo hacerlo».

En su lugar — y quizá por razones temáticas — , Bradač parte de una estructura algo más definida antes de introducir la aleatoriedad necesaria. En primer lugar, construye un grafo mucho más grande del que realmente necesita, elegido cuidadosamente por su estructura geométrica y algebraica.

«La geometría es algo que, en cierto modo, entendemos mucho mejor que la teoría de grafos», afirma Marcelo Campos, profesor adjunto del Instituto Nacional de Matemáticas Puras y Aplicadas de Brasil, que no participó en el trabajo. «Si dibujo un grafo partiendo de la geometría, sé que tendrá algunas propiedades heredadas precisamente de la geometría. Por eso es mucho más fácil demostrar algún hecho que se derive de ello que intentar inventar el grafo de forma explícita».

Una vez establecida esa estructura, llega el caos. Bradač se «acerca» al grafo más amplio, seleccionando al azar un subgrafo del tamaño que necesita. Al eliminar estratégicamente un número relativamente pequeño de vértices problemáticos, puede restablecer las propiedades cuidadosamente equilibradas del grafo sin sacrificar la mayor parte de su tamaño.

El resultado es una familia de grafos que pueden crecer mucho más de lo que se pensaba hasta ahora, al tiempo que siguen evitando ambos patrones prohibidos: pequeños cliques y grandes conjuntos independientes. En términos prácticos, el trabajo de Bradač demuestra que estos grafos «libres de patrones» pueden sobrevivir mucho más tiempo de lo que los matemáticos habían podido demostrar hasta ahora. Y lo que es más importante, su estimación se acerca de forma asombrosa al mejor límite superior conocido — un techo que se ha mantenido, prácticamente sin cambios, desde la década de 1930.

«Se trata de un avance tremendo», afirma Joel Spencer, profesor emérito de la Universidad de Nueva York, quien colaboró frecuentemente con Erdős.

Según Spencer, resultados revolucionarios como este rara vez permanecen inalterados durante mucho tiempo. En cuanto aparece una demostración importante, los matemáticos comienzan inmediatamente a analizarla, buscando formas de afinar el argumento o de obtener límites ligeramente más estrictos.

Lo que hizo que este caso fuera inusual fue que las primeras mejoras no provinieron de otro matemático, sino de un modelo de razonamiento de IA.

Poco después de publicar el preprint, Bradač fue contactado por investigadores de OpenAI. Estos habían probado la demostración con uno de los modelos de razonamiento internos de la empresa, que había encontrado una mejora que reducía aún más el límite. Juntos, los dos resultados coinciden ahora con el límite superior más conocido, salvo por factores polilogarítmicos — una minúscula diferencia que muchos matemáticos consideran el último obstáculo significativo para comprender el verdadero crecimiento de estos números de Ramsey.

Mehtaab Sawhney, un matemático que trabaja en el equipo de investigación matemática de OpenAI, afirma que las fechas coinciden por casualidad: casualmente preguntaron a su modelo sobre los números de Ramsey fuera de la diagonal justo después que el preprint estuviera disponible para que el LLM lo procesara. «No intentamos sistemáticamente mejorar los artículos recién publicados en arXiv», afirma. «En este caso, un preprint reciente resultó ser relevante para el problema analizado».

Campos subraya que el ajuste de OpenAI, aunque importante, no debe eclipsar el salto conceptual que supuso el trabajo original. «Resultó ser un ajuste muy importante», afirma, «pero se basó en gran medida en la idea que ya existía».

Sam Macdonald
Sam Macdonald es becario de la AAAS en Medios de Comunicación de 2026 en Scientific American y pronto será profesor adjunto de matemáticas en la Universidad de Augustana. Le gusta la escalada en roca, colocar la hamaca en el lugar estratégico y el axioma de elección.